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卷三

九章算术 张苍 4284 2020-04-19 08:38

  ○衰分(以御贵贱禀税) 衰分 〔衰分,差也。〕 术曰:各置列衰; 〔列衰,相与率也。重叠,则可约。〕 副并为法,以所分乘未并者,各自为实。实如法而一。

  〔法集而衰别。数,本一也。今以所分乘上别,以下集除之,一乘一除,适 足相消,故所分犹存,且各应率而别也。于今有术,列衰各为所求率,副并为所 有率,所分为所有数。又以经分言之,假令甲家三人,乙家二人,丙家一人,并 六人,共分十二,为人得二也。欲复作逐家者,则当列置人数,以一人所得乘之。

  今此术先乘而后除也。〕 不满法者,以法命之。

  今有大夫、不更、簪袅、上造、公士,凡五人,共猎得五鹿。欲以爵次分之, 问各得几何?答曰:大夫得一鹿三分鹿之二;不更得一鹿三分鹿之一;簪袅得一 鹿;上造得三分鹿之二;公士得三分鹿之一。

  术曰:列置爵数,各自为衰。

  〔爵数者,谓大夫五,不更四,簪袅三,上造二,公士一也。《墨子·号令 篇》以爵级为赐,然则战国之初有此名也。〕 副并为法。以五鹿乘未并者各自为实。实如法得一鹿。

  〔今有术,列衰各为所求率,副并为所有率,今有鹿数为所有数,而今有之, 即得。〕 今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰:“我羊食半马。”马主 曰:“我马食半牛。”今欲衰偿之,问各出几何?答曰:牛主出二斗八升七分升 之四;马主出一斗四升七分升之二;羊主出七升七分升之一。

  术曰:置牛四、马二、羊一,各自为列衰,副并为法。以五斗乘未并者各自 为实。实如法得一斗。

  〔淳风等按:此术问意,羊食半马,马食半牛,是谓四羊当一牛,二羊当一 马。今术置羊一、马二、牛四者,通其率以为列衰。〕 今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关, 关税百钱。欲以钱数多少衰出之,问各几何?答曰:甲出五十一钱一百九分钱之 四十一;乙出三十二钱一百九分钱之一十二;丙出一十六钱一百九分钱之五十六。

  术曰:各置钱数为列衰,副并为法。以百钱乘未并者,各自为实。实如法得 一钱。

  〔淳风等按:此术甲、乙、丙持钱数以为列衰,副并为所有率,未并者各为 所求率,百钱为所有数,而今有之,即得。〕 今有女子善织,日自倍,五日织五尺。问日织几何?答曰:初日织一寸三十 一分寸之十九;次日织三寸三十一分寸之七;次日织六寸三十一分寸之十四;次 日织一尺二寸三十一分寸之二十八;次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。

  术曰:置一、二、四、八、十六为列衰,副并为法。以五尺乘未并者,各自 为实。实如法得一尺。

  今有北乡算八千七百五十八,西乡算七千二百三十六,南乡算八千三百五十 六。凡三乡发徭三百七十八人。欲以算数多少衰出之,问各几何?答曰:北乡遣 一百三十五人一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七;西乡遣一百一十 二人一万二千一百七十五分人之四千四;南乡遣一百二十九人一万二千一百七十 五分人之八千七百九。

  术曰:各置算数为列衰, 〔淳风等按:三乡算数,约,可半者,为列衰。〕 副并为法。以所发徭人数乘未并者,各自为实。实如法得一人。

  〔按:此术,今有之义也。〕 今有禀粟,大夫、不更、簪袅、上造、公士,凡五人,一十五斗。今有大夫 一人后来,亦当禀五斗。仓无粟,欲以衰出之,问各几何?答曰:大夫出一斗四 分斗之一;不更出一斗;簪袅出四分斗之三;上造出四分斗之二;公士出四分斗 之一。

  术曰:各置所禀粟斛,斗数、爵次均之,以为列衰。副并而加后来大夫亦五 斗,得二十以为法。以五斗乘未并者,各自为实。实如法得一斗。

  〔禀前五人十五斗者,大夫得五斗,不更得四斗,簪袅得三斗,上造得二斗, 公士得一斗。欲令五人各依所得粟多少减与后来大夫,即与前来大夫同。据前来 大夫已得五斗,故言亦也。各以所得斗数为衰,并得十五,而加后来大夫亦五斗, 凡二十,为法也。是为六人共出五斗,后来大夫亦俱损折。今有术,副并为所有 率,未并者各为所求率,五斗为所有数,而今有之,即得。〕 今有禀粟五斛,五人分之。欲令三人得三,二人得二,问各几何?答曰:三 人,人得一斛一斗五升十三分升之五;二人,人得七斗六升十三分升之十二。

  术曰:置三人,人三;二人,人二,为列衰。副并为法。以五斛乘未并者各 自为实。实如法得一斛。

  反衰术曰:列置衰而令相乘,动者为不动者衰。

  今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人,共出百钱。欲令高爵出少,以 次渐多,问各几何?答曰:大夫出八钱一百三十七分钱之一百四;不更出一十钱 一百三十七分钱之一百三十;簪袅出一十四钱一百三十七分钱之八十二;上造出 二十一钱一百三十七分钱之一百二十三;公士出四十三钱一百三十七分钱之一百 九。

  术曰:置爵数,各自为衰,而反衰之。副并为法。以百钱乘未并者,各自为 实。实如法得一钱。

  〔以爵次言之,大夫五、不更四。欲令高爵得多者,当使大夫一人受五分, 不更一人受四分。人数为母,分数为子。母同则子齐,齐即衰也。故上衰分宜以 五、四为列焉。今此令高爵出少,则当大夫五人共出一人分,不更四人共出一人 分,故谓之反衰。人数不同,则分数不齐。当令母互乘子。母互乘子,则动者为 不动者衰也。亦可先同其母,各以分母约,其子为反衰。副并为法。以所分乘未 并者,各自为实。实如法而一。〕 今有甲持粟三升,乙持粝米三升,丙持粝饭三升。欲令合而分之,问各几何? 答曰:甲二升一十分升之七;乙四升一十分升之五;丙一升一十分升之八。

  术曰:以粟率五十、粝米率三十、粝饭率七十五为衰,而反衰之。副并为法。

  以九升乘未并者,各自为实。实如法得一升。

  〔按:此术,三人所持升数虽等,论其本率,精粗不同。米率虽少,令最得 多;饭率虽多,反使得少。故令反之,使精得多而粗得少。于今有术,副并为所 有率,未并者各为所求率,九升为所有数,而今有之,即得。〕 今有丝一斤,价直二百四十。今有钱一千三百二十八,问得丝几何?答曰: 五斤八两一十二铢五分铢之四。

  术曰:以一斤价数为法,以一斤乘今有钱数为实。实如法得丝数。

  〔按:此术今有之义,以一斤价为所有率,一斤为所求率,今有钱为所有数, 而今有之,即得。〕 今有丝一斤,价直三百四十五。今有丝七两一十二铢,问得钱几何?答曰: 一百六十一钱三十二分钱之二十三。

  术曰:以一斤铢数为法,以一斤价数乘七两一十二铢为实。实如法得钱数。

  〔淳风等按:此术亦今有之义。以丝一斤铢数为所有率,价钱为所求率,今 有丝为所有数,而今有之,即得。〕 今有缣一丈,价直一百二十八。今有缣一匹九尺五寸,问得钱几何?答曰: 六百三十三钱五分钱之三。

  术曰:以一丈寸数为法,以价钱数乘今有缣寸数为实。实如法得钱数。

  〔淳风等按:此术亦今有之义。以缣一丈寸数为所有率,价钱为所求率,今 有缣寸数为所有数,而今有之,即得。〕 今有布一匹,价直一百二十五。今有布二丈七尺,问得钱几何?答曰:八十 四钱八分钱之三。

  术曰:以一匹尺数为法,今有布尺数乘价钱为实。实如法得钱数。

  〔淳风等按:此术亦今有之义。以一匹尺数为所有率,价钱为所求率,今有 布为所有数,今有之,即得。〕 今有素一匹一丈,价直六百二十五。今有钱五百,问得素几何?答曰:得素 一匹。

  术曰:以价直为法,以一匹一丈尺数乘今有钱数为实。实如法得素数。

  〔淳风等按:此术亦今有之义。以价钱为所有率,五丈尺数为所求率,今有 钱为所有数,今有之,即得。〕 今有与人丝一十四斤,约得缣一十斤。今与人丝四十五斤八两,问得缣几何? 答曰:三十二斤八两。

  术曰:以一十四斤两数为法,以一十斤乘今有丝两数为实。实如法得缣数。

  〔淳风等按:此术亦今有之义。以一十四斤两数为所有率,一十斤为所求率, 今有丝为所有数,而今有之,即得。〕 今有丝一斤,耗七两。今有丝二十三斤五两,问耗几何?答曰:一百六十三 两四铢半。

  术曰:以一斤展十六两为法。以七两乘今有丝两数为实。实如法得耗数。

  〔淳风等按:此术亦今有之义。以一斤为十六两为所有率,七两为所求率, 今有丝为所有数,而今有之,即得。〕 今有生丝三十斤,干之,耗三斤十二两。今有干丝一十二斤,问生丝几何? 答曰:一十三斤一十一两十铢七分铢之二。

  术曰:置生丝两数,除耗数,余,以为法。

  〔馀四百二十两,即干丝率。〕 三十斤乘干丝两数为实。实如法得生丝数。

  〔凡所得率,如细则俱细,粗则俱粗,两数相抱而已。故品物不同,如上缣、 丝之比,相与率焉。三十斤凡四百八十两,今生丝率四百八十两,今干丝率四百 二十两,则其数相通。可俱为铢,可俱为两,可俱为斤,,无所归滞也。若然, 宜以所有干丝斤数乘生丝两数为实。今以斤、两错互而亦同归者,使干丝以两数 为率,生丝以斤数为率,譬之异类,亦各有一定之势。

  淳风等按:此术,置生丝两数,除耗数,余即干丝之率,于今有术为所有率; 三十斤为所求率,干丝两数为所有数。凡所为率者,细则俱细,粗则俱粗。今有 一斤乘两知,干丝即以两数为率,生丝即以斤数为率,譬之异物,各有一定之率 也。〕 今有田一亩,收粟六升太半升。今有田一顷二十六亩一百五十九步,问收粟 几何?答曰:八斛四斗四升一十二分升之五。

  术曰:以亩二百四十步为法。以六升太半升乘今有田积步为实。实如法得粟 数。

  〔淳风等按:此术亦今有之义。以一亩步数为所有率,六升太半升为所求率, 今有田积步为所有数,而今有之,即得。〕 今有取保,一岁价钱二千五百。今先取一千二百,问当作日几何?答曰:一 百六十九日二十五分日之二十三。

  术曰:以价钱为法,以一岁三百五十四日乘先取钱数为实。实如法得日数。

  〔淳风等按:此术亦今有之义。以价为所有率,一岁日数为所求率,取钱为 所有数,而今有之,即得。〕 今有贷人千钱,月息三十。今有贷人七百五十钱,九日归之,问息几何?答 曰:六钱四分钱之三。

  术曰:以月三十日乘千钱为法。

  〔以三十日乘千钱为法者,得三万,是为贷人钱三万,一日息三十也。〕 以息三十乘今所贷钱数,又以九日乘之,为实。实如法得一钱。

  〔以九日乘今所贷钱为今一日所有钱,于今有术为所有数,息三十为所求率; 三万钱为所有率。此又可以一月三十日约息三十钱,为十分一日,以乘今一日所 有钱为实;千钱为法。为率者,当等之于一也。故三十日或可乘本,或可约息, 皆所以等之也。〕

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